Solution -「洛谷 P4007」小 Y 和恐怖的奴隶主

Description

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这道题 的加强版。

Solution

题解里面大多数都是概率 DP，或者是期望 DP 然后是逆推。甚至不给 DP 的转移式。机房 yyds Reanap 发了一篇逆推的题解，那我就来补一篇正推的期望 DP 的填表法做法。

首先这道题看上去好像可以状压的样子，我们可以设 $f_{i,S}$ 表示当前打了 $i$ 次，敌方的情况是 $S$ 的期望。

不过仔细想一下发现我们只需要知道各种血量的奴隶主有多少即可。

于是我们重新设计 DP 的状态：$f_{s,i,j,k}$ 表示目前打了 $s$ 次，敌方分别有 $i$、$j$、$k$ 个 1hp、2hp、3hp 的奴隶主。

首先我们令 $T=[i+j+k<K]$

那么我们的方程就是：

$$f_{s,i,j,k}=\begin{cases} f_{s-1,i-1,j,k}+\frac{i}{i+j+k+1},M=1\land i\neq0 \\ f_{s-1,i-1,j,k}+\frac{i}{i+j+k+1},M=2\land i\neq0 \\ f_{s-1,i+1,j-1+T,k}+\frac{j}{i+j+k+1},M=2\land j\neq0 \\ f_{s-1,i-1,j,k}+\frac{i}{i+j+k+1},M=3\land i\neq0 \\ f_{s-1,i+1,j-1,k+T}+\frac{j}{i+j+k+1},M=3\land j\neq0 \\ f_{s-1,i,j+1,k-1+T}+\frac{k}{i+j+k+1},M=3\land k\neq0 \end{cases}$$

这个方程挺好理解的，基本就等于照题意模拟。

然后我们发现转移式中的系数部分和 $f$ 数组没有关系，所以我们可以用矩阵来加速这个东西。

数一数状态数，直接加速直接 T 飞。

有一个矩阵加速常用的 trick，预处理矩阵 2 的幂。

然后取模卡卡常即可。

（代码不保证稳定能过）

#include <cstdio>
#define mod ( 998244353 )

using namespace std;
typedef long long LL;

char buf[1 << 21], *p1 = buf, *p2 = buf;
#define getchar( ) ( p1 == p2 && ( p2 = ( p1 = buf ) + fread( buf, 1, 1 << 21, stdin ), p1 == p2 ) ? EOF : *p1 ++ )

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
    x = 0;
    char c = getchar( );
    _T f = 1;
    while( c < '0' || c > '9' )
    {
        if( c == '-' )    f = -1;
        c = getchar( );
    }
    while( c >= '0' && c <= '9' )    x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( c ^ '0' ), c = getchar( );
    x *= f;
}

template<typename _T, typename... Args>
void read( _T &t, Args&... args ) { read( t ), read( args... ); }

template<typename _T>
void write( _T x )
{
    if( x < 0 )    putchar( '-' ), x = -x;
    if( x > 9 )    write( x / 10 );
    putchar( x % 10 + '0' );
}

template<typename _T>
void Add( _T &x, _T y )
{
    if( y >= mod )  y %= mod;
    x += y;
    if( x >= mod )  x -= mod;
}

template<typename _T>
_T square( _T x ) { return x * x; }

const int Maxn = 10 + 5, Maxk = 170 + 5;
int T, M, K, S, Unite[Maxn][Maxn][Maxn];
LL tmp[Maxk], Ans[Maxk], Inv[Maxn];
struct Matrix
{
    LL mat[Maxk][Maxk];

    friend Matrix operator * ( const Matrix &one, const Matrix &another )
    {
        Matrix res;
        for( int i = 0; i <= S + 1; ++ i )
        {
            for( int j = 0; j <= S + 1; ++ j )
            {
                res.mat[i][j] = 0;
                for( int k = 0; k <= S + 1; ++ k )    Add( res.mat[i][j], one.mat[i][k] * another.mat[k][j] );
            }
        }
        return res;
    }
} dp[Maxk];

template<typename _T>
_T qkpow( _T base, _T times )
{
    _T res = 1;
    while( times )
    {
        if( times & 1 )    res = ( LL )res * base % mod;
        base = ( LL )base * base % mod;
        times >>= 1;
    }
    return res;
}

void progressInversions( ) { for( int i = 0; i <= 10; ++ i )    Inv[i] = qkpow( i, mod - 2 ); }
signed main( )
{
    progressInversions( );
    read( T, M, K );
    for( int i = 0; i <= K; ++ i )
    {
        int UpI;
        if( M > 1 )    UpI = K - i;
        else    UpI = 0;
        for( int j = 0; j <= UpI; ++ j )
        {
            int UpJ;
            if( M > 2 )    UpJ = K - i - j;
            else    UpJ = 0;
            for( int k = 0; k <= UpJ; ++ k )    Unite[i][j][k] = ++ S;
        }
    }
    for( int i = 0; i <= K; ++ i )
    {
        int UpI;
        if( M > 1 )    UpI = K - i;
        else    UpI = 0;
        for( int j = 0; j <= UpI; ++ j )
        {
            int UpJ;
            if( M > 2 )    UpJ = K - i - j;
            else    UpJ = 0;
            for( int k = 0; k <= UpJ; ++ k )
            {
                int Add;
                if( i + j + k < K )    Add = 1;
                else    Add = 0;
                if( M == 1 && i )    dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i - 1][j][k]] = ( LL )i * Inv[i + j + k + 1] % mod;
                else if( M == 2 )
                {
                    if( i )    dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i - 1][j][k]] = ( LL )i * Inv[i + j + k + 1] % mod;
                    if( j )    dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i + 1][j - 1 + Add][k]] = ( LL )j * Inv[i + j + k + 1] % mod;
                }
                else if( M == 3 )
                {
                    if( i )    dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i - 1][j][k]] = ( LL )i * Inv[i + j + k + 1] % mod;
                    if( j )    dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i + 1][j - 1][k + Add]] = ( LL )j * Inv[i + j + k + 1] % mod;
                    if( k )    dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i][j + 1][k - 1 + Add]] = ( LL )k * Inv[i + j + k + 1] % mod;
                }
                dp[0].mat[Unite[i][j][k]][Unite[i][j][k]] = dp[0].mat[Unite[i][j][k]][S + 1] = Inv[i + j + k + 1];
            }
        }
    }
    dp[0].mat[S + 1][S + 1] = 1;
    for( int i = 1; i <= 60; ++ i )    dp[i] = square( dp[i - 1] );
    while( T -- > 0 )
    {
        LL N;
        read( N );
        for( int i = 0; i <= S + 1; ++ i )  Ans[i] = 0;
        if( M == 1 )    Ans[Unite[1][0][0]] = 1;
        else if( M == 2 )    Ans[Unite[0][1][0]] = 1;
        else    Ans[Unite[0][0][1]] = 1;
        for( int i = 0; i <= 60; ++ i )
        {
            if( ( N >> i ) & 1 )
            {
                for( int j = 0; j <= S + 1; ++ j )
                {
                    tmp[j] = 0;
                    for( int k = 0; k <= S + 1; ++ k )    Add( tmp[j], Ans[k] * dp[i].mat[k][j] );
                }
                for( int j = 0; j <= S + 1; ++ j )    Ans[j] = tmp[j];
            }
        }
        write( Ans[S + 1] ), putchar( '\n' );
    }
    return 0;
}