Description
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给定一个数列 $\sf a_1,a_2,....a_n$，请求出下面这个结果在模 $\sf 998244353$ 下的答案。
$$ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}2^{a_i a_j} $$
Solution
这题涉及一个 trick：$\sf ij=\binom{i+j}{2}-\binom{i}{2}-\binom{j}{2}$，是 UQ 里面 EI 给我讲的，说明一下。
首先我们令 $\sf c_{a_{i}}=the~number~of~the~occurrences~of~a_{i},mx=\max\{a_{i}\}$。
然后来推式子：
$$ \begin{aligned} \sf\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}2^{a_{i}a_{j}}&=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{ij} \\ &=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{\binom{i+j}{2}-\binom{i}{2}-\binom{j}{2}} \\ &=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{\binom{i+j}{2}}2^{-\binom{i}{2}}2^{-\binom{j}{2}} \\ &=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{\binom{i+j}{2}}2^{-\binom{i}{2}}2^{-\binom{j}{2}} \\ \end{aligned}\\ $$
现在我们令 $\sf t_{i}=2^{\binom{i}{2}},it_{i}=2^{-\binom{i}{2}}$。
那么 $\sf i+j$ 那项你就直接拿出来最后单独算即可。
$$ \begin{aligned} \sf\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}2^{a_{i}a_{j}} &=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{\binom{i+j}{2}}2^{-\binom{i}{2}}2^{-\binom{j}{2}} \\ &=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}t_{i+j}it_{i}it_{j} \\ \end{aligned}\\ $$
最后直接算：
$$ \sf \sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=0}^{mx-1}c_{i}it_{i}c_{i-j}it_{i-j} $$
卷积 完了。
记住模数非质的时候不一定有逆元啊啊啊啊！！！！
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD=998244353;
void exGCD(LL one,LL ano,LL &x,LL &y)
{
if(ano==0) x=1,y=0;
else exGCD(ano,one%ano,y,x),y-=(one/ano)*x;
}
LL getInv(LL val,LL _MOD){LL res,w; exGCD(val,_MOD,res,w); return (res%_MOD+_MOD)%_MOD;}
LL fspow(LL bas,LL fur)
{
LL res=1;
while(fur)
{
if(fur&1) res=LL(res)*bas%MOD;
bas=LL(bas)*bas%MOD;
fur>>=1;
}
return (res+MOD)%MOD;
}
LL fac[200010],ifac[200010];
//LL binom(LL n,LL k){return n>=k?LL(fac[n])*ifac[k]%(MOD-1)*ifac[n-k]%(MOD-1):0;}
LL binom(LL n,LL k){return n>=k?LL(n)*(n-1)/2%(MOD-1):0;}
namespace Poly
{
typedef vector<LL> poly;
#define len(x) (LL((x).size()))
LL lim,rev[800010];
void ntt(poly &f,LL op)
{
for(LL i=0;i<lim;++i) if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
for(LL len=2;len<=lim;len<<=1)
{
LL bas=fspow(op==1?3:332748118,(MOD-1)/len);
for(LL fr=0;fr<lim;fr+=len)
{
LL now=1;
for(LL ba=fr;ba<fr+(len>>1);++ba,now=LL(now)*bas%MOD)
{
LL tmp=LL(now)*f[ba+(len>>1)]%MOD;
f[ba+(len>>1)]=(f[ba]-tmp+MOD)%MOD;
f[ba]=(f[ba]+tmp)%MOD;
}
}
}
if(op==-1)
{
LL tmp=getInv(lim,MOD);
for(LL i=0;i<lim;++i) f[i]=LL(f[i])*tmp%MOD;
}
}
poly operator*(poly f,poly g)
{
LL n=len(f)+len(g)-1; lim=1;
while(lim<n) lim<<=1;
f.resize(lim),g.resize(lim);
for(LL i=0;i<lim;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(lim>>1):0);
ntt(f,1),ntt(g,1);
for(LL i=0;i<lim;++i) f[i]=LL(f[i])*g[i]%MOD;
ntt(f,-1),f.resize(n);
return f;
}
}using namespace Poly;
LL n,mx,c[100010],t[100010],it[100010],ans,ex[200010];
int main()
{
poly f;
scanf("%lld",&n);
for(LL i=1,x;i<=n;++i) scanf("%lld",&x),mx=max(mx,x),++c[x];
f.resize(mx+1);
fac[0]=1;
for(LL i=1;i<=(mx<<1);++i) fac[i]=LL(fac[i-1])*i%(MOD-1);
// for(LL i=0;i<=(mx<<1);++i) ifac[i]=getInv(fac[i],MOD-1);
// printf("%lld\n",getInv(fac[2],MOD));
// printf("(%lld %lld %lld %lld)\n",fac[2],ifac[2],ifac[0],binom(2,2));
for(LL i=0;i<=mx;++i) t[i]=fspow(2,binom(i,2));
for(LL i=0;i<=mx;++i) it[i]=getInv(t[i],MOD);
// for(LL i=1;i<=mx;++i) printf("%lld ",fac[i]); puts("");
// for(LL i=1;i<=mx;++i) printf("%lld ",binom(i,2)); puts("");
// for(LL i=1;i<=mx;++i) printf("%lld ",LL(i)*(i-1)/2%MOD); puts("");
for(LL i=0;i<=mx;++i) f[i]=LL(c[i])*it[i]%MOD;
for(LL i=1;i<=(mx<<1);++i) ex[i]=fspow(2,binom(i,2));
f=f*f;
for(LL i=0;i<len(f);++i) ans=(ans+LL(f[i])*ex[i]%MOD)%MOD;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}