原来的标题是:『「水」CRT 的构造本质』。
对于一个单元线性同余方程组 $x\equiv a_i\pmod{r_i}$,考虑构造一个 $\{c_i\}$ 使得 $\forall i\neq j$,有 $c_i\equiv0\pmod{r_j}$,且 $c_i\equiv1\pmod{r_i}$,那么一定存在解 $x\equiv\sum a_ic_i\pmod{\prod r_i}$。
给出一种构造方法:令 $m_i=\frac{\prod r_i}{r_i}$,则 $c_i\equiv m_i\times m_i^{-1}$,其中 $m_i^{-1}$ 是 $m_i$ 模 $r_i$ 的乘法逆元(但运算结果不作取模),显然满足上述性质,这就是 Chinese Remainder Theorem 的构造本质。